Разделы библиотеки

Авторизация






Забыли пароль?
Пифагор Версия в формате PDF Отправить на e-mail
(580 – 500 до.н.э.)

Пифагору повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных. С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя.

ImageВ настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Ее частные случаи были известны еще до него в Китае, Вавилонии, Египте. Однако многие ученые полагают, что Пифагор первым дал полноценное доказательство этой теоремы.

Зато не найти, пожалуй, никакой другой теоремы, заслужившей столько всевозможных сравнений. Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему Пифагора почему-то называли "мостом ослов". У математиков арабского Востока эта теорема получила название "теоремы невесты". Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась "теоремой нимфы" за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых, женщин и невест. При переводе с греческото арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово "нимфа" как "невеста", а не "бабочка". Так появилось ласковое название знаменитой теоремы – "теорема невесты".

Рассказывают, что, когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, он отблагодарил богов, принеся им в жертву сто быков. Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном и Плутархом, скорее всего, вымышлен, ибо, как известно, Пифагор был вегетарианцем и непримиримым противником убоя и пролития крови животных.

Для нас Пифагор – математик. В древности было иначе. Геродот называет его учителем мудрости; он же указывает, что последователи Пифагора не погребали своих мертвецов в шерстяных одеждах. Это больше похоже на религию, чем на математику.

Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением высшей божественной мудрости. О Пифагоре ходило много сказок, вроде тех, что у него было золотое бедро, что люди видели его в одно и то же время в разных местах. В некоторых текстах он предстает как полубог, как сын Гермеса. Пифагор считал, что существует три типа существ – боги, простые смертные и "похожие на Пифагора". В литературе пифагорейцы чаще всего изображались суеверными и весьма разборчивыми вегетарианцами, но совсем не математиками. Так кем же был Пифагор на самом деле: математиком, философом, пророком, святым или шарлатаном?

Вокруг личности Пифагора создалось столько легенд, что трудно судить, что в них хоть отчасти соответствует действительности и что является вымыслом.

Мы не знаем даже точных дат его рождения и смерти: по некоторым данным Пифагор родился около 580 г. и умер в 500 г. до н.э. Родившись на острове Самос, расположенном у самых берегов Малой Азии, от путешественников и капитанов кораблей он узнавал о близких и далеких чудесных странах Египта и Вавилонии, мудрость жрецов которых изумляла молодого Пифагора и манила. Совсем юным он покинул родину, сначала приплыв к берегам Египта, где 22 года внимательно присматривался к окружающим, прислушивался к жрецам. В Египте, рассказывают, Пифагор попал в плен к Камбизу, персидскому завоевателю, и его увели в Вавилон. Грандиозная панорама города, раскинувшего свои дворцы и высокие оборонительные стены по обоим берегам Ефрата, привела Пифагора в восторг и изумление. Он быстро осваивается со сложными вавилонскими традициями, у халдейских магов и жрецов изучает теорию чисел. И, может быть, отсюда пошла та числовая мистика приписывания числам божественной силы, которая Пифагором была преподнесена как философия. После возвращения на Самос он создал свою школу (лучше назвать – секту, общину), которая преследовала не только научные, но и религиозно-этические и политические цели. Деятельность союза была окружена тайной, и все научные открытия, сделанные пифагорейцами, приписывались самому Пифагору.

Свою школу Пифагор создает как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторый историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания, и все это время принятые в школу могли слушать голос учителя лишь из-за занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их "души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел". Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти. Этот закон имел негативное влияние, поскольку помешал учению стать составной частью культуры.

Пифагорейцы просыпались с рассветом, пели песни , аккомпанируя себе на лире, потом делали гимнастику, занимались теорией музыки, философией, математикой, астрономией и другими науками. Часто занятия проводились на открытом воздухе, в форме бесед. Среди первых учеников школы было и несколько женщин, включая и Теано – жену Пифагора.

Однако аристократическая идеология, резко противоречила идеологии античной демократии, преобладавшей в то время на Самосе. Школа вызвала недовольство жителей острова, и Пифагору пришлось покинуть родину. Он переселяется в южную Италию – колонию Греции – и здесь, в Кротоне, вновь основывает пифагорейский союз, просуществовавший около двух веков.

С самого начала в пифагоризме сформировались два различных направления – "асуматики" и "математики". Первое направление занималось этическими и политическими вопросами, воспитанием и обучением, второе – главным образом исследованиями в области геометрии. Пифагорейская философия содержала принципы, научные достижения, взгляды на воспитание человека, социально-политические идеи. Пифагоризм определил число как принцип, придав научному объекту универсальное значение (прием, использованный позже и другими философиями). Такое преклонение перед числом объясняется теми наблюдениями, которые проводились в пифагорейском союзе над явлениями окружающей жизни, но оно сопровождалось мистическими измышлениями, зачатки которых были заимствованы вместе с началами математических знаний из стран Ближнего Востока.

Занимаясь гармонией, пифагорейцы пришли к выводу, что качественные отличия звуков обусловливаются чисто количественными различиями длин струн или флейт. Так, гармонический аккорд при звучании трех струн получается в том случае, когда длины этих струн сопоставляются с соотношением чисел 3, 4 и 6. Такое же соотношение было подмечено пифагорейцами и во многих других случаях. Например, отношение числа граней, вершин и ребер куба равно отношению чисел 6:8:12.

Занимаясь вопросом о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника (квадрата), или же три правильных шестиугольника.


Если обратим внимание на числа правильных многоугольников в этих трех случаях, то увидим, что их отношение равно отношению 6:4:3, если же возьмем отношение числа сторон этих многоугольников, то найдем, что оно равно отношению чисел 3:4:6.

На основе подобных наблюдений в школе Пифагора возникло убеждение, что во всей Вселенной явления подчинены вполне определенным числовым соотношениям, то есть существует "мировая гармония", что "элементы чисел являются элементами всех вещей и что весь мир в целом является гармонией и числом".

Пифагорейцы считали, что число есть лежащая в основе бытия причина стройности и порядка, господствующей самородной связи вечного постоянства в мировом строе. Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными, условие всего определяемого, всего познаваемого. Вещи суть подражания числам. Отсюда исключительный интерес пифагорейцев к основе основ – арифметике, с помощью которой можно выразить все отношения между вещами и построить модель мира.

Вследствие того, что пифагорейцы придавали числу такое огромное значение, в школе уделялось много внимания изучению чисел, то есть было положено начало теории чисел. Однако здесь, как и во всей Греции тех времен, практика вычислений считалась недостойным занятием для философских школ; ее предоставляли людям "низшим" в их житейских и деловых отношениях и называли "логистикой". Пифагор говорил, что он поставил арифметику "выше потребности торговли". Поэтому в школе Пифагора изучались лишь свойства чисел, а не практический счет.

Число для пифагорейцев – это собрание единиц, то есть только целое положительное число. Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые пифагорейцы располагали в виде правильных геометрических тел, получая ряды "треугольных", "квадратных", "пятиугольных" и других "фигурных" чисел. Каждый такой ряд представляет последовательные суммы арифметической прогрессии с разностями 1, 2, 3 и т.д.

На рисунке изображены "треугольные" числа 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10; общее выражение этих чисел:

.



На предыдущем рисунке показаны "квадратные" числа 1, 1+3=4, 1+3+5=9; общее выражение этих чисел:

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2.

(Наше выражение "квадрат" для числа n2 является пережитком пифагорейской терминологии).



"Пятиугольные" числа 1, 1+4=5, 1+4+7=12, показанные на рисунке, имеют общее выражение:

.


Пифагорейцы определили также "кубические" числа 1, 8, 27, ... ; "пирамидальные" числа – суммы "треугольных" чисел:

.


Изучая свойства чисел, пифагорейцы первые обратили внимание на законы их делимости. Они разбили все числа на четные – "мужские" и нечетные – "женские", или иначе "гномоны" и, что очень важно, на простые и составные. Пифагорейцы называли составные числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, "плоскими числами" и изображали их в виде прямоугольников, а составные числа, представимые в виде произведения трех сомножителей, – "телесными числами" и изображали их в виде параллелепипедов. Простые числа, которые нельзя представить в виде произведений, они называли "линейными числами". Пифагорейцы создали так называемое учение о четных и нечетных числах, которое с современной точки зрения является теорией делимости на 2.

Нам известно и несколько теоретико-числовых задач, которыми занимались пифагорейцы. Они исследовали неопределенное уравнение

x2 + y2 = z2,

целые решения которого поэтому называют "пифагоровыми тройками", и нашли бесконечно много таких троек, имеющих вид

.


Пифагорейцы занимались задачей о нахождении совершенных чисел, то есть таких, которые равны сумме своих делителей (исключая само число), как, например, 6=1+2+3 или 28=1+2+4+7+14. Совершенных чисел не много. Среди однозначных – это только 6, среди двузначных, трехзначных и четырехзначных – только 28, 496 и 8128 соответственно. Все они четны и выражаются формулой 2 p-1(2 p-1), где p, 2 p-1 являются простыми числами. Однако вопрос о том, имеется ли конечное или бесконечное число совершенных чисел, до сих пор не решен, также не найдено ни одного нечетного совершенного числа и не доказано, что таких чисел не существует.

Два числа, обладающие тем свойством, что сумма делителей каждого из них равняется другому, назывались "содружественными". Как утверждают, Пифагор на вопрос, что такое друг, ответил: "Тот, кто есть другой я, вот как числа 220 и 284".

При помощи компьютера в одном из университетов США были исследованы все числа до миллиона. В результате были получены 42 пары содружественных чисел:

220 284
1184 1210
2620 2924
5020 5564
6232 6368

и т.д.

Существуют и пары нечетных содружественных чисел:

12285 14595
67095 87633

и др.

Однако общая формула для этих чисел не найдена, мало известно и об их свойствах.

Ранние пифагорейцы связывали с целыми числами и различные мистические спекуляции отвлеченного философского характера. Тело выражалось числом 210, огонь – числом 11, воздух – 13, вода – 9. Качество и цвет есть цифра 5; созидательная способность жизни – цифра 6; 7 символизировала жизненный принцип, здоровье, циклы и биоритмы; 8 (oктава) – любовь и дружбу. Вселенная соответствовала числу 10, а число 10 представляло собой совершенство – тетрактис (1+2+3+4). Tетрактис был задуман как число "суть источник и вечный корень изменчивой природы". Исходя из замечательных свойств декады, пифагорейцы считали, что число небесных сфер должно быть равно 10, а так как их насчитывали только 9 (сферы неба, Солнца, Луны, Земли, Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна), то была придумана новая планета – Противоземлие, которая вращалась по десятой сфере.

Что же касается числа 36, то оно производило сильное впечатление на пифагорейцев своими качествами: с одной стороны, оно представляет сумму кубов трех первых чисел натурального ряда (13+23+33), а с другой – является суммой первых четырех четных и первых четырех нечетных чисел:

(2+4+6+8) + (1+3+5+7) = 36.

Весь мир, по мнению пифагорейцев, был построен на первых четырех нечетных и на первых четырех четных числах, а потому самой страшной клятвой у них считалась клятва числом 36.

Пифагорейцы нашли первое в истории доказательство несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Доказали, изумились и... испугались. Оказывается, нет ни целых, ни рациональных чисел, квадрат которых равнялся бы, например, 2. Значит, существуют какие-то другие числа ?! Это так противоречило их учению, в основе которого лежали лишь рациональные числа, что они решили (поклялись своим магическим числом 36!) засекретить свое открытие. Согласно преданию, ученик Пифагора Гиппас Месапонтский, раскрывший эту тайну, был "наказан" богами и погиб во время кораблекрушения.

Решение такой трудной задачи, как построение правильных многоугольников и многогранников, естественно, произвело сильное впечатление на лиц, решивших ее, и потому указанным многогранникам в школе Пифагора было придано мистическое значение – они считались "космическими фигурами", и каждому из них было присвоено наименование одной из стихий, входящих, по представлению греков, в основу бытия: тетраэдр именовался огнем, октаэдр – воздухом, икосаэдр – водой, гексаэдр – землей и додекаэдр – Вселенной. Из всех геометрических тел прекраснейшим считался шар. Пифагор полагал, что Земля имеет шарообразную форму и какой-то огонь, но не Солнце, является центром Вселенной, около которого Земля вращается по кругу, причем Солнце, Луна и планеты обладают собственным движением, отличным от суточного движения неподвижных звезд.

Пифагоризм предполагает существование десяти "принципов", порождающих космос: конечность и бесконечность, единство и множество, неподвижность и движение, свет и тьма, добро и зло и др. Первые из них положительные, вторые – отрицательные. Космос (понятие, введенное пифагорейцами) – это гармония, тетрактис, совершенство, порядок, мера. Вселенная, созданная числом и противоположными принципами (конечность – бесконечность), ведет себя логически, соразмерно необходимости и меры.

Особое место в доктрине пифагоризма занимало учение о душе и должном поведении человека. Пифагор выделял три составные части человеческой души : суждение (nous), разум (phrenes) и пристрастия (thymos). Душа есть единство этих трех составляющих, функциональная гармония, сложная триада. Душа вечна разумом, а остальные ее части (суждение и пристрастия) являются общими для людей и животных. Пифагор был последовательным адептом учения о метемпсихозе, считал, что после смерти человека его душа переселяется в другие существа, растения, и т.д., пока опять не перейдет человеку, а это, в свою очередь, зависит от его земных деяний. Пифагорейцы видели души везде, им казалось, что даже воздух вокруг полон душ, которые шлют людям сны, болезни или здоровье.

ImageВ "правилах" воспитания, основанных на идее о бессмертии души, обязательными были: преклонение перед богами, почитание родителей, воспитание дружбы, смелости, уважения к старшим. Пифагору приписываются "Золотые стихи" и "Символы". Вот некоторые изречения из них:
– Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
– Не делай никогда того, чего ты не знаешь. Но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.
– Не пренебрегай здоровьем, своего тела. Доставляй ему вовремя пищу и питье, и упражнения, в которых оно нуждается.
– Приучайся жить просто и без роскоши.
– Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошедший день.
– Не проходите мимо весов (то есть не нарушайте справедливости).
– Не садитесь на подушку (то есть не успокаивайтесь на достигнутом).
– Не грызите своего сердца (то есть не предавайтесь меланхолии).
– Не поправляйте огня мечем (то есть не раздражайте тех, кто и без того во гневе).
– Не принимайте под свою кровлю ласточек (то есть говорунов и легкомысленных людей).

Таким образом пифагоризм представляет собой некую смесь научного и магического, рационального и мистического.

Однако идеология, лежавшая в основе деятельности союза, неуклонно влекла его к гибели. Союз состоял главным образом из представителей аристократии, в чьих руках было сосредоточено управление городом Кротоном, а это оказывало большое влияние на политику. Между тем в Афинах и в большинстве греческих колоний вводилось демократическое управление, привлекавшее все большее число сторонников. Демократические течения стали преобладающими и в Кротоне. Пифагор со своими сторонниками вынужден был бежать оттуда. Но это уже не спасло его. Будучи в городе Метапонте, он, восьмидесятилетний старец, погиб в стычке со своими противниками. Не помог ему и богатый опыт ведения кулачного боя и звание первого олимпийского чемпиона по этому виду спорта, завоеванное Пифагором в молодости.

Судьба самого Пифагора и его союза имела печальный конец, однако пифагоризм с его метафизикой, научными знаниями, взглядами на воспитание продолжал влиять на дальнейшее развитие науки и философии. Несомненно, школа Пифагора сыграла большую роль в усовершенствовании научных методов разрешения математических проблем: в математику твердь вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей значение особой науки.

Именем Пифагора назван кратер на видимой стороне Луны.

 
< Пред.
ALEXANDRIA © 2018